各种排序算法时间复杂度 稳定性 初始序列是否对元素比较次数有关

首先给大家推荐一下我老师大神的人工智能教学网站。教学不仅零基础,通俗易懂,而且非常风趣幽默,还时不时有内涵黄段子!点这里可以跳转到网站

怎么记忆稳定性

总过四大类排序:插入、选择、交换、归并(基数排序暂且不算)

比较高级一点的(时间复杂度低一点得)shell排序,堆排序,快速排序(除了归并排序)都是不稳定的,在加上低一级的选择排序是不稳定的。

比较低级一点的(时间复杂度高一点的)插入排序,               冒泡排序,归并排序,基数排序都是稳定的。

(4种不稳定,4种稳定)。

怎么记忆初始序列是否对元素的比较次数有关:

/**  * @brief 严版数据结构书代码  *        最好的情况,数组本身有序,就只需执行n-1次比较,此时时间复杂度为O(n);  *        最坏的情况,数组本身逆序,要执行n(n-1)/2次,此时时间复杂度为O(n^2);  */void _insertSort(int R[], int n){	int i, j, temp;	for ( i = 1; i < n; ++i ) {		if ( R[i] < R[i - 1] ) {//将R[i]插入有序字表			temp = R[i];		//设置哨兵			for ( j = i - 1; R[j] > temp; --j ) {				R[j+1] = R[j];			}			R[j+1] = temp;		}	}}

对于直接插入排序:

当最好的情况,如果原来本身就是有序的,比较次数为n-1次(分析(while (j >= 0 && temp < R[j]))这条语句),时间复杂度为O(n)。

当最坏的情况,原来为逆序,比较次数为2+3+…+n=(n+2)(n-1)/2次,而记录的移动次数为i+1(i=1,2…n)=(n+4)(n-1)/2次。

如果序列是随机的,根据概率相同的原则,平均比较和移动的次数为n^2/4.

/**  * @brief 严版数据结构 选择排序  *        采用"选择排序"对长度为n的数组进行排序,时间复杂度最好,最坏都是O(n^2)  *        当最好的时候,交换次数为0次,比较次数为n(n-1)/2  *        最差的时候,也就初始降序时,交换次数为n-1次,最终的排序时间是比较与交换的次数总和,  *        总的时间复杂度依然为O(n^2)  */void _selectSort(int R[], int n){	int i, j, temp, index;	for ( i = 0; i < n; ++i ) {		index = i;		for ( j = i + 1; j < n; ++j ) {			if ( R[index] > R[j] ) {				index = j;//index中存放关键码最小记录的下标			}		}		if (index != i) {			temp = R[i];			R[i] = R[index];			R[index] = temp;		}	}}

选择排序不关心表的初始次序,它的最坏情况的排序时间与其最佳情况没多少区别,其比较次数都为 n(n-1)/2,交换次数最好的时候为0,最差的时候为n-1,尽管和冒泡排序同为O(n),但简单选择排序性能上要优于冒泡排序。但选择排序可以   非常有效的移动元素。因此对次序近乎正确的表,选择排序可能比插入排序慢很多。

/**  * @brief     改进的冒泡排序  * @attention 时间复杂度,最好的情况,要排序的表本身有序,比较次数n-1,没有数据交换,时间复杂度O(n)。  *            最坏的情况,要排序的表本身逆序,需要比较n(n-1)/2次,并做等数量级的记录移动,总时间复杂度为O(n^2).  */void bubbleSort2(int R[], int n){	int i, j, temp;	bool flag = TRUE;	//flag用来作为标记 	for ( i = 0; i < n && flag; ++i ) {		flag = FALSE;		for ( j = n - 1; j > i; --j ) {			if (R[j] < R[j - 1]) {				temp = R[j];				R[j] = R[j - 1];				R[j - 1] = temp;				flag = TRUE;//如果有数据交换,则flag为true			}		}	}}

冒泡排序:

最好的情况,n-1次比较,移动次数为0,时间复杂度为O(n)。

最坏的情况,n(n-1)/2次比较,等数量级的移动,时间复杂度为O(O^2)。

/**  * @brief 希尔排序, 对于长度为n的数组,经过 "希尔排序" 输出  */void shellSort(int R[], int n){	int i, j, temp;	int k = n / 2;	while (k >= 1) {		for (i = k; i < n; ++i) {			temp = R[i];			j = i - k;			while (R[j] < temp && j >= 0) {				R[j+k] = R[j];				j = j - k;			}			R[j+k] = temp;		}		k = k / 2;	}

希尔排序初始序列对元素的比较次数有关。

/**  * @brief     构建 大顶堆  * @attention 个人版本,堆排序  */void heapAdjust(int R[], int start, int end){	int j, temp;	temp = R[start];	for ( j = 2 * start + 1; j <= end; j = j * 2 + 1 ) {				if ( j < end && R[j] < R[j + 1] ) {			++j;		}		if ( temp >  R[j] ) {			break;		}		R[start] = R[j];		start = j;	}	R[start] = temp;} /**  * @brief 堆排序  * @param R为待排序的数组,size为数组的长度  *  时间复杂度:构建大(小)顶堆,完全二叉树的高度为log(n+1),因此对每个结点调整的时间复杂度为O(logn)  *           两个循环,第一个循环做的操作次数为n/2,第二个操作次数为(n-1),因此时间复杂度为O(nlogn)  */void heapSort(int R[], int size){	int i, temp;	for ( i = size / 2 - 1; i >= 0; --i ) {		heapAdjust(R, i, size);	}	for ( i = size - 1; i >= 0; --i ) {		temp = R[i];		R[i] = R[0];		R[0] = temp;//表尾和表首的元素交换		heapAdjust(R, 0, i - 1);//把表首的元素换成表尾的元素后,重新构成大顶堆,因为除表首的元素外,								//后面的结点都满足大顶堆的条件,故heapAdjust()的第二个参数只需为0	}}
/**  * @brief 将有序的长度为n的数组a[]和长度为m的b[]归并为有序的数组c[]  *        只要从比较二个数列的第一个数,谁小就先取谁,取了之后在对应的数列中删除这个数。  *        然后再进行比较,如果有数列为空,那直接将另一个数列的数据依次取出即可。  *        将两个有序序列a[first...mid]和a[mid...last]合并  */void mergeArray(int a[], int first, int mid, int last, int tmp[]){	int i = first, j = mid + 1;	int k = 0;	while ( i <= mid && j <= last ) {		if ( a[i] <= a[j] )			tmp[k++] = a[i++];		else			tmp[k++] = a[j++];	}	while ( i <= mid ) {		tmp[k++] = a[i++];	}	while ( j <= last ) {		tmp[k++] = a[j++];	}	for (i = 0; i < k; i++) {//这里千万不能丢了这个        a[first + i] = tmp[i];	}}/**  * @brief 归并排序,其的基本思路就是将数组分成二组A,B,如果这二组组内的数据都是有序的,  *        那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序了?  *        可以将A,B组各自再分成二组。依次类推,当分出来的小组只有一个数据时,  *        可以认为这个小组组内已经达到了有序,然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先 (递归) 的分解数列,  *        再 (合并) 数列就完成了归并排序。  */void mergeSort(int a[], int first, int last, int tmp[]){	int mid;	if ( first < last ) {		mid = ( first + last ) / 2;		mergeSort(a, first, mid, tmp);	//左边有序		mergeSort(a, mid + 1, last, tmp);	//右边有序		mergeArray(a, first, mid, last, tmp);	}}
/**   * @brief 虽然快速排序称为分治法,但分治法这三个字显然无法很好的概括快速排序的全部步骤。  *        因此我的对快速排序作了进一步的说明:挖坑填数+分治法:  * @param R为待排数组,low和high为无序区  *        时间复杂度:最好O(nlogn),最坏O(n^2),平均O(nlogn),空间复杂度O(logn);  */void quickSort(int R[], int low, int high){	if ( low < high ) {		int i = low, j = high, temp = R[low]; 		while ( i < j ) {			//从右往左扫描,如果数组元素大于temp,则继续,直至找到第一个小于temp的元素			while ( i < j && R[j] >= temp ) {				--j;			}			if ( i < j ) {				R[i++] = R[j];			}			while ( i < j && R[i] <= temp ) {				++i;			}			if ( i < j ) {				R[j--] = R[i];			}		}		R[i] = temp;		quickSort(R, low, i - 1);		quickSort(R, i + 1, high);	}}

各排序算法整体分析

  冒泡排序、插入排序、希尔排序以及快速排序对数据的有序性比较敏感,尤其是冒泡排序和插入排序;

 选择排序不关心表的初始次序,它的最坏情况的排序时间与其最佳情况没多少区别,其比较次数为 n(n-1)/2,但选择排序可以   非常有效的移动元素。因此对次序近乎正确的表,选择排序可能比插入排序慢很多。

冒泡排序在最优情况下只需要经过n-1次比较即可得出结果(即对于完全正序的表),最坏情况下也要进行n(n-1)/2 次比较,与选择排序的比较次数相同,但数据交换的次数要多余选择排序,因为选择排序的数据交换次数顶多为 n-1,而冒泡排序最坏情况下的数据交换n(n-1)/2 。冒泡排序不一定要进行 趟,但由于它的记录移动次数较多,所以它的平均时间性能比插入排序要差一些。

插入排序在最好的情况下有最少的比较次数 ,但是它在元素移动方面效率非常低下,因为它只与毗邻的元素进行比较,效率比较低。

希尔排序实际上是预处理阶段优化后的插入排序,一般而言,在 比较大时,希尔排序要明显优于插入排序。

快速排序采用的“大事化小,小事化了”的思想,用递归的方法,将原问题分解成若干规模较小但与原问题相似的子问题进行求解。快速算法的平均时间复杂度为O(nlogn) ,平均而言,快速排序是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快者;但是由于快速排序采用的是递归的方法,因此当序列的长度比较大时,对系统栈占用会比较多。快速算法尤其适用于随机序列的排序。

因此,平均而言,对于一般的随机序列顺序表而言,上述几种排序算法性能从低到高的顺序大致为:冒泡排序、插入排序、选择排序、希尔排序、快速排序。但这个优劣顺序不是绝对的,在不同的情况下,甚至可能出现完全的性能逆转。

对于序列初始状态基本有正序,可选择对有序性较敏感的如插入排序、冒泡排序、选择排序等方法

对于序列长度 比较大的随机序列,应选择平均时间复杂度较小的快速排序方法。

各种排序算法都有各自的优缺点,适应于不同的应用环境,因此在选择一种排序算法解决实际问题之前,应当先分析实际问题的类型,再结合各算法的特点,选择一种合适的算法

       这里特别介绍下快速排序:

  快速排序的时间主要耗费在划分操作上,对长度为k的区间进行划分,需要k-1次关键字比较。

(1)最坏的时间复杂度

最坏情况是每次划分选取的基准都是当前无序区中关键字最小(或最大)的记录,划分的结果是基准左边的子区间为空(或右边的子区间为空),而划分所得的另一个非空的子区间中记录数目,仅仅比划分前的的无序区中记录个数减少一个。

    因此,快速排序必须做n-1次划分,第i次划分开始区间长度为n-i+1,所需的比较次数为n-i(1<=i<=n-1),故总的比较次数达到最大值:n(n-1)/2;

    如果按上面给出的划分算法,每次取当前无序区的第1个记录为基准,那么当文件的记录已按递增序(或递减序)排列时,每次划分所取的基准就是当前无序区中关键字最小(或最大)的记录,则快速排序所需的比较次数反而最多。

(2)最坏的时间复杂度

在最好情况下,每次划分所取的基准都是当前无序区的”中值”记录,划分的结果是基准的左、右两个无序子区间的长度大致相等。总的关键字比较次数:

        0(nlgn)

(3)平均时间复杂度

    尽管快速排序的最坏时间为O(n2),但就平均性能而言,它是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快者,快速排序亦因此而得名。它的平均时间复杂度为O(nlgn)。

 (4)空间复杂度

    快速排序在系统内部需要一个栈来实现递归。若每次划分较为均匀,则其递归树的高度为O(lgn),故递归后需栈空间为O(lgn)。最坏情况下,递归树的高度为O(n),所需的栈空间为O(n)。

点这里可以跳转到人工智能网站

发表评论