让你看懂聚类分析

首先给大家推荐一下我老师大神的人工智能教学网站。教学不仅零基础,通俗易懂,而且非常风趣幽默,还时不时有内涵黄段子!点这里可以跳转到网站

目录

1.聚类分析概述
2.各种距离的定义
2.1 样本相似性度量
2.2 类与类间的相似性度量
2.3 变量间的相似度度量
3.划分聚类
4.层次聚类

1.聚类分析概述

聚类分析是一种定量方法,从数据分析的角度看,它是对多个样本进行定量分析的多元统计分析方法,可以分为两种:

  • 对样本进行分类称为Q型聚类分析
  • 对指标进行分类称为R型聚类分析

从数据挖掘的角度看,又可以大致分为四种:

  • 划分聚类
  • 层次聚类
  • 基于密度的聚类
  • 基于网格的聚类

本篇文章将从数据挖掘的角度来揽述,但也会借鉴数学建模的部分思想。

无论是从那个角度看,其基本原则都是:

先来看一下从数据挖掘的角度看,这四种聚类方法有什么不同。

划分聚类:给定一个n个对象的集合,划分方法构建数据的k 个分区,其中每个分区表示一个族(族)。大部分划分方法是基于距离的,给定要构建的k个分区数,划分方法首先创建一个初始划分,然后使用一种迭代的重定位技术将各个样本重定位,直到满足条件为止。

层次聚类:层次聚类可以分为凝聚和分裂的方法;凝聚也称自底向上法,开始便将每个对象单独为一个族,然后逐次合并相近的对象,直到所有组被合并为一个族或者达到迭代停止条件为止。分裂也称自顶向下,开始将所有样本当成一个族,然后迭代分解成更小的值。

基于密度的聚类:其主要思想是只要“邻域“中的密度(对象或数据点的数目)超过某个阀值,就继续增长给定的族。也就是说,对给定族中的每个数据点,在给定半径的邻域中必须包含最少数目的点。这样的主要好处就是过滤噪声,剔除离群点。

基于网格的聚类:它把对象空间量化为有限个单元,形成一个网格结构,所有的聚类操作都在这个网格结构中进行,这样使得处理的时间独立于数据对象的个数,而仅依赖于量化空间中每一维的单元数。

划分聚类是基于距离的,可以使用均值或者中心点等代表族中心,对中小规模的数据有效;而层次聚类是一种层次分解,不能纠正错误的合并或划分,但可以集成其他的技术;基于密度的聚类可以发现任意形状的族,族密度是每个点的“邻域“内必须具有最少个数的点,可以过滤离群点;基于网格的聚类使用一种多分辨率网格数据结构,能快速处理数据。

但在目前的工业应用中,主要是划分聚类和层次聚类的应用,所以接下来的内容主要在这几个方面。

2.各种距离的定义

2.1 样本相似性度量
要用数量化的方法对事物进行分类,就要用数量化的方法来定义每个样本的相似程度,这个相似程度在数学上可以称之为距离,最常用的闵氏距离:当时,可以分别得到:
其中最常用的又是欧式距离,因为当坐标轴进行正交旋转的时候,欧式距离是保持不变的,而很多算法,都是需要变换坐标轴的。

  • 缺点1:闵氏距离没有考虑样本的各指标的数量级水平。当样本的各指标数量级相差悬殊时,该距离不合适。
  • 解决方法:在计算距离之前,先把所有指标都转化为统一的分布内,即标准化。
  • 缺点2:使用欧式距离要求各坐标对距离的贡献应该是同等的,且变差大小也是相同的,如果变差不同,则不太适用。
    比如在择偶时衡量一个男性的指标,假如是身高和收入水平,一个人是1.5米,收入6000,另一个人是1.8米,收入5500,这两个人的两个指标的变差差别就很大,不好用欧式距离。
  • 解决方法2:将欧式距离进行一定的改写:其中表示变量k的标准差,其实就是为了调整变量的变差。

与闵氏距离相似的还有马氏距离,它是对闵氏距离的进一步调优:其中表示协方差矩阵的逆,可以证明它对一切线性变换是不变的,故不受量纲的影响,它不仅对自身的变差做了调整,还对指标的相关性也做了考虑,非常适用于两个未知样本集的相似度计算。

2.2 类与类间的相似性度量
如果有两个样本类,可以用下面的一系列方法度量他们之间的距离:直观理解为两个类中最近两点之间的距离。直观理解为两个类中最远离两点间的距离分别为两个族的重心。它表示两个样本点距离的平均,分别为中的样本点个数。其中式中若内部点与点距离很小,则它们能很好地各自聚为一类,并且这两类又能充分分离(很大),这是D就很大。

2.3 变量间的相似度度量

相关系数,记变量的取值就可以用两变量的相关系数作为他们的相似性度量:
在监督学习中,如果特征数量少,可以使用相关系数筛选有用特征,python代码也很简单:

plt.figure(figsize=(12,12))
from seaborn.linearmodels import corrplot,symmatplot

_ = corrplot(df,annot = False)
plt.show()
这里写图片描述

余弦相似度:也可以利用两个变量的夹角余弦作为它们的相似性度量:两者都满足

其中越接近1,就越相似,如果越接近0,相似性就越弱。

更多距离度量公式点我

3.划分聚类

对于给定的类目数据k,首先给出初始划分,通过迭代改变样本和族的隶属关系,使得每次划分都比前一次好,直到隶属关系基本稳定。

划分聚类的代表是K-Means算法,它需要在一开始指定类目数,根据距离最近的原则,把待分类的样本点划分到不同的族,然后按照平均法计算各个族的质心,重新分配质心,直到质心的移动距离小于某个值。

3.1 k均值聚类

K-Means算法也称K-均值聚类算法,是一种广泛使用的聚类算法,也是其他聚类算法的基础。

假定输入样本为S = X1,X2,···,Xm,则算法步骤为:
1. 选择初始的k个类别中心μ1μ2…μk

2. 对于每个样本Xi,将其标记为距离类别中心最近的类别(距离计算一般采用欧式距离)
3. 将每个类别中心更新为隶属该类别的所有样本的均值
4. 重复最后两步,直到类别中心的变化小于某阈值。

终止条件一般有迭代次数,族中心变化率,最小平方误差MSE (Minimum Squared Error)等。

这里写图片描述

它的迭代过程如下:

这里写图片描述
这里写图片描述
这里写图片描述

算法缺陷:k个族心初始点需要提前设定好,但现实情况中,不同场景下的k个族质心往往相差很大,在k值不会太大,应用场景不明确是,可以通过迭代求解损失函数最小时对应的k值。不同的随机种子点得到的结果完全不同,

看一下k=3得到的三种不同结果:



可以发现,即使k=3相同,但开始的情况不同,仍然有可能使得聚类不成功。第二张图就是聚类失败的例子。

4.层次聚类

这里写图片描述

层次聚类不需要指定类数,它把每个点划分为一族,将最近的两个点划分为一族,重复划分直到只剩下一个族。

用最短距离法看一下具体是怎么算的;

  • 设又五个销售员,,他们的销售业绩由二维变量描述,见表
这里写图片描述

记销售员的销售业绩为,使用绝对值距离来测量点与点之间的距离,使用最短距离法来测量类与类之间的距离,即由距离公式可以算出距离矩阵:

这里写图片描述
  • 第一步,所有的元素自成一类每个类的平台高度为0,即显然,这时
  • 第二步,取新类的平台高度为1,把合成一个新类,此时的分类情况是:
  • 第三步,取新类的平台高度为2,把合成一个新类,此时的分类情况是:
  • 第四步,取新类的平台高度为3,把合成一个新类,此时的分类情况是:
  • 第五步,取新类的平台高度为4,把合成一个新类,此时的分类情况是:
这里写图片描述

如此就把所有的样本点聚为一类,如果想要聚成3类,完全可以在处停止迭代就OK了。用图可以表示为:

由此判断五个推销员中也就是三类。

参考
多元统计分析-何晓群
数学建模原理与应用
数据挖掘概念与技术

点这里可以跳转到人工智能网站