直方图均衡化算法原理与实现

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工作后,对原来学习的一些基本图像处理算法有了一些新的认识,比如Canny 算法,直方图均衡化算法等,今天就来说说直方图均衡化算法。

#直方图均衡化原理
我们知道提高图像对比度的变换函数f(x)f(x)需要满足一下条件:

  1. f(x)f(x)在0<=x<=L−10<=x<=L−1上单调递增(不要求严格单调递增),其中L表示灰度级(L=256)
  2. f(x)f(x)的范围是[0,L−1][0,L−1]

我们知道当图像直方图完全均匀分布的时候,此时图像的熵是最大的(随机变量每个值的概率都相同时,概率最大),图像对比度是最大的。所以,理想情况下,图像经过变换函数f(x)f(x)变换后,直方图能够均匀分布,此时对比度是最大的。

这里写图片描述

那问题来了?怎样的变换函数具有如此神奇的功能呢?[1]P74中给出了答案。
在图像处理中,有一个重要的函数,能够满足上面的条件:
y=f(x)=(L−1)∫x0px(t)dty=f(x)=(L−1)∫0x​px​(t)dt
英文原版中P145中的表述为:

其中px(x)px​(x)表示概率密度函数,在离散的图像中,表示直方图的每个灰度级的概率(在图像中,灰度级就可以看成是一个随机变量,而直方图就是该随机变量的概率密度函数),由概率论的知识,我们可以知道,变换函数f(x)f(x)其实就是连续型随机变量x的分布函数,表示的是函数下方的面积。

这里写图片描述

分布函数的两个性质:1.单调不减 2.值域为[0,1],我们可以知道f(x)满足条件1和2

有人可能会有这个疑问?图像是离散的,为什么可以用连续的来表示呢?从数学角度来看,离散是连续的一种特例(图像就是一个很好的例子)。

下面我们证明变换后的直方图是均匀的。
由概率论知识,变换后的概率密度:
py(y)=px(x)∣(f−1(y))′∣py​(y)=px​(x)∣(f−1(y))′∣
由变上限函数求导法则可知f(x)′=(L−1)px(x)f(x)′=(L−1)px​(x)
反函数的导数等于原函数导数的倒数,所以
(f−1(y))′=1(L−1)px(x)(f−1(y))′=(L−1)px​(x)1​
所以
py(y)=1L−1py​(y)=L−11​

看到了吧,变换后的概率密度函数是一个均匀分布,对于图像来说,就是每个灰度级概率都是相等的,达到了我们的目的。
下面我们需要将这个变换函数转换为图像中的表达,图像中,我们可以知道,可以使用求和代替积分,差分代替微分,所以上述的变换函数就是:
y=f(x)=(L−1)∑xi0h(xi)w×hy=f(x)=(L−1)0∑xi​​w×hh(xi​)​

其中h(xi)h(xi​)表示直方图中每个灰度级像素的个数, ww和 hh分别表示图像的宽和高。

#直方图均衡化算法实现
根据上面的推导,算法实现如下:

//不支持OpenCV的ROI
void GetHistogram(const Mat &image, int *histogram)
{
	memset(histogram, 0, 256 * sizeof(int));

	//计算直方图
	int pixelCount = image.cols*image.rows;
	uchar *imageData = image.data;
	for (int i = 0; i <= pixelCount - 1; ++i)
	{
		int gray = imageData[i];
		histogram[gray]++;
	}
}

void EqualizeHistogram(const Mat &srcImage, Mat &dstImage)
{
	CV_Assert(srcImage.type() == CV_8UC1);
	dstImage.create(srcImage.size(), srcImage.type());

	// 计算直方图
	int histogram[256];
	GetHistogram(srcImage, histogram);

	// 计算分布函数(也就是变换函数f(x))
	int numberOfPixel = srcImage.rows*srcImage.cols;
	int LUT[256];
	LUT[0] = 1.0*histogram[0] / numberOfPixel*255;
	int sum = histogram[0];
	for (int i = 1; i <= 255; ++i)
	{
		sum += histogram[i];

		LUT[i] = 1.0*sum / numberOfPixel * 255;
	}

	// 灰度变换
	uchar *dataOfSrc = srcImage.data;
	uchar *dataOfDst = dstImage.data;
	for (int i = 0; i <= numberOfPixel - 1; ++i)
		dataOfDst[i] = LUT[dataOfSrc[i]];
}

这里写图片描述

原图

测试结果:

这里写图片描述


从直方图均衡化算法中,可以看出,看似简单的几个算法步骤,背后蕴藏了很多数学理论知识,计算机视觉很多算法的背后都是强大的数学,这大概就是数学的魅力吧。

完整工程:https://github.com/qianqing13579/QQImageProcess_OpenCV

2016-9-3 10:41:39

#参考文献

  1. 《数字图像处理》第3版,冈萨雷斯
这里写图片描述

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