判断质数/素数——我知道的最快的方法

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标准版:大部分人都知道的比较快的方法:判断从2到sqrt(n)是否存在其约数,时间复杂度O(sqrt(n))

高配版:判断2之后,就可以判断从3到sqrt(n)之间的奇数了,无需再判断之间的偶数,时间复杂度O(sqrt(n)/2)

尊享版:

首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;

证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:

··· 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ···

可以看到,不和6的倍数相邻的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。因此在5到sqrt(n)中每6个数只判断2个,时间复杂度O(sqrt(n)/3)。

在高配版和尊享版中,都是一个剪枝的思想,高配版中裁剪了不必要的偶数,尊享版中裁剪了不和6的倍数相邻的数,虽然都没有降低时间复杂度的阶数,但都一定程度上加快了判断的速度。

在此给出尊享版C++代码:

#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int isPrime(int n){	//返回1表示判断为质数,0为非质数,在此没有进行输入异常检测	float n_sqrt;	if(n==2 || n==3) return 1;	if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;	n_sqrt=floor(sqrt((float)n));	for(int i=5;i<=n_sqrt;i+=6)	{	    if(n%(i)==0 | n%(i+2)==0) return 0;	}        return 1;} int main(){	int flag;	flag=isPrime(37);	cout<<flag<<endl;	return 0;}

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