Unity Unity 3D 中的旋转

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Unity 3D 中的旋转

一、Unity 3D 中 Rotation

在Unity中,旋转通常可以用一个三维向量(x,y,z)表示。实际上这是欧拉角。三个分量分别是绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。

要对一个GameObject进行旋转,可以直接通过如下代码:

transform.Rotate(xAngle, yAngle, zAngle);

那么有如下疑问:

  1. 上述的x轴、y轴、z轴指的是哪组基?是世界坐标系下的xyz轴,还是局部坐标系下的xyz轴?还是其他?
  2. 旋转的正方向如何?
  3. 旋转的顺序如何?

下面一一解答。

二、旋转轴

首先,回答第一个问题,到底旋转轴是哪个坐标系的基?分为如下三种情况。

1. 旋转轴:Inspector 中 Transform 的旋转数值

TransformExample1

对于这一个情况,Unity Doc 中有明确的说明,

The position, rotation and scale values of a Transform are measured relative to the Transform’s parent. If the Transform has no parent, the properties are measured in world space.

即,Editor中Transform组件的旋转轴是父节点的模型空间坐标轴,如果没有父节点,则旋转轴是世界空间坐标轴。

unity_transform

上图显示了如果Transform有父节点,如图中的”Mesh”,则Position将是在其父节点(这里是”Cow”)的模型空间中的位置;如果没有父节点,Position就是在世界空间中的位置。同样,Transform中的Rotation和Scale也是相同的道理。

2. 旋转轴:在Script中使用Rotate函数,在Space.Self中旋转

public void Rotate(Vector3 eulerAngles, Space relativeTo = Space.Self);
public void Rotate(float xAngle, float yAngle, float zAngle, Space relativeTo = Space.Self);
public void Rotate(Vector3 axis, float angle, Space relativeTo = Space.Self);

有上述三种重载函数,这里主要以第一种为例。其中第二个参数的取值有两种:Space.Self 或者 Space.World。

使用如下代码,测试上述函数的作用。

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class Rotate : MonoBehaviour {
    public Space m_RotateSpace;
    public float m_RotateSpeed = 20f;

    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        transform.Rotate(Vector3.up * m_RotateSpeed * Time.deltaTime, m_RotateSpace);
    }
}

场景中进行测试的是一个长方体,其父节点的旋转为(30,30,0),圆柱体的初始旋转为(0,0,0)。在Inspector中将Rotate Space设置为Self后,运行结果见下图。可见,长方体是绕着局部坐标系的Y轴旋转的。

得出结论:在Space.Self中进行旋转,旋转轴就是局部坐标系的坐标轴。

RotateSpaceSelf

3. 旋转轴:在Script中使用Rotate函数,在Space.World中旋转

在Inspector中将Rotate Space设置为World后,运行结果见下图。这里我们知道,长方体的父节点的Y轴不是World的Y轴,而这里的长方体是绕着世界坐标系下的Y轴旋转的。

所以得出结论:在Space.World中进行旋转,旋转轴是世界坐标系的坐标轴。

RotateSpaceWorld

4. 静态欧拉角和动态欧拉角

前面说到的旋转轴的问题,在数学上有对应的概念。这就是所谓的静态欧拉角和动态欧拉角。

所谓静态欧拉角,就是其旋转轴使用的是静止不动的参考系。动态欧拉角,使用的是刚体本身作为参考系,因而参考系会随着刚体的旋转而旋转。

因此,使用Space.World旋转,以及Inspector中的旋转是静态欧拉角;使用Space.Self旋转,是动态欧拉角。

三、旋转的正方向

来到第二个问题,由于Unity中局部坐标系和世界坐标系都是左手坐标系,所以这里旋转的正方向可由右手法则判定。

四、旋转的顺序

下面来看第三个问题,旋转的顺序,即我们的欧拉角(xAngle, yAngle, zAngle)由三个分量组成,分别对应着绕x轴旋转,绕y轴旋转和绕z轴旋转,那么是如何绕着这三个轴进行旋转的呢?

这里也分为静态欧拉角和动态欧拉角的情况进行讨论。

1. 静态欧拉角

这种情况对应着上面所述的使用Space.World进行旋转,以及Inspector中的旋转。即使旋转轴在旋转的过程中保持不变,旋转的顺序会决定最后的旋转结果。我们看下面的例子会很清晰的理解:

  • 情形一:首先绕世界坐标系的x轴旋转90度,再绕世界坐标系的y轴旋转90度
RotateOrder1
  • 情形二:首先绕世界坐标系的y轴旋转90度,再绕世界坐标系的x轴旋转90度
RotateOrder2

可以看到,由于旋转顺序的不同,最终导致了旋转结果的不同!(究其本质,是因为矩阵乘法不满足交换律)

对于旋转的顺序,一般没有定式,因此,需要在使用时明确的指定出其顺序。对此有一个专门的术语,称为顺规。如果在坐标系中的旋转,先绕x轴旋转,再绕y轴,最后再绕z轴,则称之为X-Y-Z顺规。以此类推。

对于Unity,从文档中可以看到,其transform.Rotate()使用的是Z-X-Y顺规。因此如果在Unity中,使用静态欧拉角旋转(90,90,0)得到情形一的情况。

2. 动态欧拉角

这种情况对应着上面所述的使用Space.Self进行旋转。动态欧拉角除了上面说到的顺规问题(同样是Z-X-Y顺规),还有一个疑问:比如一个物体,初始状态记为A,以Z-X-Y顺规旋转(90,90,0),由于没有z轴旋转,第一步当然是绕着当前的x轴旋转90度,此时状态记为B,那么第二步要绕着y轴旋转90的时候,是绕着初始状态A时的y轴旋转,还是绕着此时的B状态下的y轴旋转呢?

首先来看下两者的区别:

  • 情形一:以状态A时的y轴旋转
RotateOrder3
  • 情形二:以状态B时的y轴旋转
RotateOrder4

Unity中的情况究竟如何呢?直接运行下面的代码会看到结果:

void Start () {
    transform.Rotate(90, 90, 0, Space.Self);
}
RotateOrder5

可以发现Unity中的情况与情形一相同。所以第二步要绕着y轴旋转90的时候,是绕着初始状态A时的y轴旋转。

为了得到情形二中的效果,可以分两次旋转,运行如下代码:

void Start () {
    transform.Rotate(90, 0, 0, Space.Self);
    transform.Rotate(0, 90, 0, Space.Self);
}

可以发现,此时的效果与情形一中相同了。

最终,我们的结论是:Unity中每次使用Space.Self进行Rotate时,都是绕着调用时刻的局部坐标系的坐标轴进行旋转的。

3. 静态欧拉角和动态欧拉角的等价形式

静态欧拉角和动态欧拉角是可以相互转换的。

转化规则就是:静态欧拉角中,在某一坐标系E下按照某一顺规如X-Y-Z旋转角度(a, b, c),等价于动态欧拉角中,在E下旋转(0, 0, c),在旋转后的坐标系E’中旋转(0, b, 0),在旋转后的新坐标系E”中旋转(a, 0, 0)。

在Space.Self中旋转以 Z-X-Y 顺规旋转角度(a, b, c),等价于在Space.Self中旋转(0, b, 0),在新的Space.Self中旋转(a, 0, 0),在更新的Space.Self中旋转(0, 0, c)。

下面我们来证明上述两种旋转是等价的。通过复合旋转矩阵的方式。

记:

绕坐标系E下的Z轴旋转c的旋转矩阵为Rz,
绕坐标系E下X轴旋转a的旋转矩阵为Rx,
绕坐标系E下Y轴旋转b的旋转矩阵为Ry;

绕坐标系E下的Y轴旋转b的矩阵为Rb(Rb == Ry),
绕坐标系E在绕Y轴旋转b后的新坐标系E’下的X轴旋转a的旋转矩阵为Ra,
绕坐标系E’在绕X轴旋转a后的新坐标系E”下的Z轴旋转c的旋转矩阵为Rc。

另外,这里将矩阵R的逆记为R~。

求证:Rz * Rx * Ry == Rb * Ra * Rc

证明:
Rb == Ry,由定义相同可知。
Ra = (Rb~) * Rx * Rb,要得到绕坐标系E在绕Y轴旋转b后的新坐标系E’下的X轴旋转a的旋转矩阵Ra,先应用Rb~旋转到坐标系E下,然后绕坐标系E下的X轴旋转a,最后应用Rb转回到坐标系E’。
Rc = ((Rb * Ra)~) * Rz * (Rb * Ra),理由同上。
所以有,
右边 = Rb * Ra * Rc
= Rb * Ra * ((Rb * Ra)~) * Rz * (Rb * Ra)
= Rz * Rb * Ra
= Rz * Rb * (Rb~) * Rx * Rb
= Rz * Rx * Rb
= Rz * Rx * Ry = 左边
证毕!

从代码上来说,就是下面两个函数是等价的。

private void RotateStatic(float a, float b, float c)
{
    // 静态欧拉角,依次绕着调用Rotate时的局部坐标系的z,x,y轴旋转a,b,c角度
    transform.Rotate(a, b, c, Space.Self);
}

private void RotateDynamic(float a, float b, float c)
{
    // 动态欧拉角,绕着调用Rotate时的局部坐标系的y轴旋转b角度
    transform.Rotate(0, b, 0, Space.Self);
    // 动态欧拉角,绕着调用Rotate时的局部坐标系的y轴旋转a角度
    transform.Rotate(a, 0, 0, Space.Self);
    // 动态欧拉角,绕着调用Rotate时的局部坐标系的y轴旋转c角度
    transform.Rotate(0, 0, c, Space.Self);
}

五、万向节锁(Gimbal Lock)

1. 什么是万向节锁

2. 如何产生万向节锁

3. 万向节锁的问题

3. 在欧拉旋转中尽力避免万向节锁

六、四元数(Quaternion)旋转

1. 什么是四元数

2. 用四元数进行旋转

参考

  1. Unity 中的旋转
  2. 欧拉角与万向节死锁
  3. 《Unity Shader 入门精要》第四章

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