矩阵快速幂总结

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基础知识:(会基础的直接看应用部分)

(1)矩阵乘法

简单的说矩阵就是二维数组,数存在里面,矩阵乘法的规则:A*B=C

其中c[i][j]为A的第i行与B的第j列对应乘积的和,即:

代码:

const int N=100;int c[N][N];void multi(int a[][N],int b[][N],int n)//n是矩阵大小,n<N{    memset(c,0,sizeof c);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)        for(int k=1;k<=n;k++)        c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];}

另一种写法:

int c[N][N];void multi(int a[][N],int b[][N],int n){    memset(c,0,sizeof c);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int k=1;k<=n;k++)        for(int j=1;j<=n;j++)        c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];}

这种可以在第二重for判断if(a[i][k]==0)continue;对于矩阵有较多0的有一定效果。不过一般第一种写法就够了,这种知道就行。

显然矩阵乘法的复杂度是O(n^3);(O(n^2.7)的方法不会写,无视这里)。

这里我直接写的是n*n的矩阵(即方阵),显然两个相乘是要一行和一列对应乘,那么矩阵乘法是需要A的行数与B的列数相等的(这是A*B的前提条件,可见矩阵的乘法是不满足交换律的)。然而这些一般都是没什么用的,矩阵快速幂只会用到方阵(除非题目是裸的矩阵乘法)。矩阵快速幂都是方阵也就避免的相乘的前提条件,可以放心用。

(1)矩阵快速幂

就是算A^n;方法很简单,把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了

代码:

const int N=10;int tmp[N][N];void multi(int a[][N],int b[][N],int n){    memset(tmp,0,sizeof tmp);    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=0;j<n;j++)        for(int k=0;k<n;k++)        tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];    for(int i=0;i<n;i++)        for(int j=0;j<n;j++)        a[i][j]=tmp[i][j];}int res[N][N];void Pow(int a[][N],int n){    memset(res,0,sizeof res);//n是幂,N是矩阵大小    for(int i=0;i<N;i++) res[i][i]=1;    while(n)    {        if(n&1)            multi(res,a,N);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了;        multi(a,a,N);//a=a*a        n>>=1;    }}

这代码看看就好,我的写法一般人不是很喜欢看,网上有很多种写法,比如用结构体存矩阵什么的,模板建议还是自己写的好,自己怎么写顺溜就怎么写呗,弄清楚原理就好。

不过上诉res数组就等同于普通快速幂初始化的1,原理想通的,这个矩阵叫单位矩阵E,性质就是E*A=A,就是1*a=a,一样,单位矩阵就是对角线全是1其他全是0;

最终算出的结果是一个res矩阵,具体有什么用就看下面的应用。

应用篇

主要通过把数放到矩阵的不同位置,然后把普通递推式变成”矩阵的等比数列”,最后快速幂求解递推式:

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路):

例一:http://poj.org/problem?id=3070
题目:斐波那契数列f(n),给一个n,求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的,不过这里不讲,反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的,所以第一步先要列出递推式:

 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式,找到转移矩阵:

,简写成T * A(n-1)=A(n),T矩阵就是那个2*2的常数矩阵,而

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的,当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式,后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列,直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置),根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值,按照上面矩阵快速幂写法,res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c;(a,b,c是常数)

2.f(n)=c^n-f(n-1) ;(c是常数)

继续例题二:poj3233

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given这题就是求一个矩阵的和式:S(k),直接对和式建立递推:

建立矩阵,注意此处S和A都是2*2的矩阵,E表示单位矩阵,O表示零矩阵(全是0,与其他矩阵相乘都为0),显然E,O都是2*2的

这里转移矩阵是4*4.OVER

一般这种题目都是要找递推式,这是难点.

例三:HDU2276

题意就是说n个灯排成环i号灯的左边是i-1号,1的左边是n号,给定初始灯的开闭状态(用1,0表示),然后每一秒都操作都是对于每个灯i,如果它左边的灯是开的就把i状态反转(0变1,1变0),问m秒都最终状态是什么,m<=1e8,n<=100;

这题的递推式没有明说,但是每一秒操作一次其实就是一次递推,那么关键就是要找转移矩阵,而且比较是常数矩阵,这个才能用等比的性质

我们把n个灯的状态看出一个F(n),其实就是一个n*1的01矩阵,然后考虑从上一秒的状态F(n-1)如何转移到F(n)。既然每个状态都要转移,总共n个状态,可以看出转移矩阵就是一个n*n的矩阵(每一个灯的状态都用一个1*n的矩阵来转移)

先考虑第一个灯:影响它新状态的只有它左右的灯和它自己的状态,仔细想一下,1*n的转移中只有这两位置有用,那么其他都是0,就这样

这里state2到staten-1都被0干掉了,只有第一个和1号左边的灯有效

(这里不具体讲了,只有0,1的状态,自己枚举一下state1和state2,矩阵相乘后都是能正确转移的)

其他灯的考虑都是一样的,最终:

OVER

例四:HDU 5015
题意就是一个矩阵a,第一行依次是0,233,2333,23333……,给出矩阵的递推式:a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1],输入的是第零列,求a[n][m],n ≤ 10,m ≤ 109
解:n很小,m很大,m大概就是作为幂次,以每一列为一个矩阵A(n-1)并且向下一列A(n)转移,那么关键就是找转移矩阵了:
先看第一行的数233后面每次都添一个3,显然递推关系就是A(n-1)*10+3=A(n),这里多一个3,必须把列数新增一个元素3,也就是一个(n+1)*1的矩阵A(n).
然后其他的元素转移会出现一个问题,a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];这里a[i-1][j]依旧是新一列的元素,这是不能矩阵转移的,因为矩阵转移必须从旧的矩阵状态A(n-1)变到新状态A(n)。
那么这里a[i-1][j]就用递归思想,沿用上一行的转移矩阵(上一行能转移出a[i-1][j]),再加上新增的转移:

OVER

当然矩阵还有很多奇葩的递推,比如这矩阵优化的dp题

推荐一些题目:

简单的:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1757
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1575

不简单的:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3483
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3658
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

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