数据结构 Hash表(哈希表)

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参考链接:数据结构(严蔚敏)

一、什么是Hash表

要想知道什么是哈希表,那得先了解哈希函数
哈希函数

对比之前博客讨论的二叉排序树 二叉平衡树 红黑树 B B+树,它们的查找都是先从根节点进行查找,从节点取出数据或索引与查找值进行比较。那么,有没有一种函数H,根据这个函数和查找关键字key,可以直接确定查找值所在位置,而不需要一个个比较。这样就**“预先知道”**key所在的位置,直接找到数据,提升效率。

地址index=H(key)
说白了,hash函数就是根据key计算出应该存储地址的位置,而哈希表是基于哈希函数建立的一种查找表

二、哈希函数的构造方法

根据前人经验,统计出如下几种常用hash函数的构造方法:
直接定制法
哈希函数为关键字的线性函数如 H(key)=a*key+b
这种构造方法比较简便,均匀,但是有很大限制,仅限于地址大小=关键字集合的情况
使用举例:
假设需要统计中国人口的年龄分布,以10为最小单元。今年是2018年,那么10岁以内的分布在2008-2018,20岁以内的分布在1998-2008……假设2018代表2018-2008直接的数据,那么关键字应该是2018,2008,1998……
那么可以构造哈希函数H(key)=(2018-key)/10=201-key/10
那么hash表建立如下

indexkey年龄人数(假设数据)
02018 0-10200W
12008 10-20250W
21998 20-30253W
31988 30-40300W
……

数字分析法
假设关键字集合中的每个关键字key都是由s位数字组成(k1,k2,……,knk_1,k_2,……,k_nk1​,k2​,……,kn​),分析key中的全体数据,并从中提取分布均匀的若干位或他们的组合构成全体

使用举例
我们知道身份证号是有规律的,现在我们要存储一个班级学生的身份证号码,假设这个班级的学生都出生在同一个地区,同一年,那么他们的身份证的前面数位都是相同的,那么我们可以截取后面不同的几位存储,假设有5位不同,那么就用这五位代表地址。
H(key)=key%100000
此种方法通常用于数字位数较长的情况,必须数字存在一定规律,其必须知道数字的分布情况,比如上面的例子,我们事先知道这个班级的学生出生在同一年,同一个地区。
平方取中法
如果关键字的每一位都有某些数字重复出现频率很高的现象,可以先求关键字的平方值,通过平方扩大差异,而后取中间数位作为最终存储地址。
使用举例
比如key=1234 1234^2=1522756 取227作hash地址
比如key=4321 4321^2=18671041 取671作hash地址
这种方法适合事先不知道数据并且数据长度较小的情况
折叠法
如果数字的位数很多,可以将数字分割为几个部分,取他们的叠加和作为hash地址
使用举例
比如key=123 456 789
我们可以存储在61524,取末三位,存在524的位置
该方法适用于数字位数较多且事先不知道数据分布的情况
除留余数法用的较多
H(key)=key MOD p (p<=m m为表长)
很明显,如何选取p是个关键问题。

使用举例
比如我们存储3 6 9,那么p就不能取3
因为 3 MOD 3 == 6 MOD 3 == 9 MOD 3
p应为不大于m的质数或是不含20以下的质因子的合数,这样可以减少地址的重复(冲突)

比如key = 7,39,18,24,33,21时取表长m为9 p为7 那么存储如下

index012345678
key721(冲突后移)24418(冲突后移)33冲突后移)

**随机数法** H(key) =Random(key) 取关键字的随机函数值为它的散列地址

hash函数设计的考虑因素

1.计算散列地址所需要的时间(即hash函数本身不要太复杂)
2.关键字的长度
3.表长
4.关键字分布是否均匀,是否有规律可循
5.设计的hash函数在满足以上条件的情况下尽量减少冲突

三、哈希冲突

即不同key值产生相同的地址,H(key1)=H(key2)
比如我们上面说的存储3 6 9,p取3是
3 MOD 3 == 6 MOD 3 == 9 MOD 3
此时3 6 9都发生了hash冲突

哈希冲突的解决方案

不管hash函数设计的如何巧妙,总会有特殊的key导致hash冲突,特别是对动态查找表来说。
hash函数解决冲突的方法有以下几个常用的方法
1.开放定制法
2.链地址法
3.公共溢出区法
建立一个特殊存储空间,专门存放冲突的数据。此种方法适用于数据和冲突较少的情况。
4.再散列法
准备若干个hash函数,如果使用第一个hash函数发生了冲突,就使用第二个hash函数,第二个也冲突,使用第三个……
重点了解一下开放定制法和链地址法

开放定制法

首先有一个H(key)的哈希函数
如果H(key1)=H(keyi)
那么keyi存储位置Hi=(H(key)+di)MODmH_i=(H(key)+d_i)MOD mHi​=(H(key)+di​)MODmm为表长
did_idi​有三种取法
1)线性探测再散列
di=c∗id_i=c*idi​=c∗i
2)平方探测再散列
di=12,−12,22,−22d_i=1^2,-1^2,2^2,-2^2di​=12,−12,22,−22……
3)随机探测在散列(双探测再散列)
did_idi​是一组伪随机数列
注意
增量di应该具有以下特点(完备性):产生的Hi(地址)均不相同,且所产生的s(m-1)个Hi能覆盖hash表中的所有地址

  • 平方探测时表长m必须为4j+3的质数(平方探测表长有限制)
  • 随机探测时m和di没有公因子(随机探测di有限制)
    三种开放定址法解决冲突方案的例子

废话不多说,上例子就明白了
有一组数据
19 01 23 14 55 68 11 86 37要存储在表长11的数组中,其中H(key)=key MOD 11
那么按照上面三种解决冲突的方法,存储过程如下:
(表格解释:从前向后插入数据,如果插入位置已经占用,发生冲突,冲突的另起一行,计算地址,直到地址可用,后面冲突的继续向下另起一行。最终结果取最上面的数据(因为是最“占座”的数据))
线性探测再散列
我们取di=1,即冲突后存储在冲突后一个位置,如果仍然冲突继续向后

index012345678910
key551141986
23冲突23
68冲突68冲突68
11冲突11冲突11冲突11冲突11冲突11
37冲突37冲突37
最终存储结果55123146811371986

**平方探测再散列**

index012345678910
key55114371986
23冲突H(23)+1
H(68)-1冲突68冲突H(68)+1冲突H(68)+4
11冲突H(11)+1冲突H(11)-1
最终存储结果55123143768198611

**随机探测在散列(双探测再散列)** 发生冲突后 H(key)‘=(H(key)+di)MOD m 在该例子中 H(key)=key MOD 11 我们取di=key MOD 10 +1 则有如下结果:

index012345678910
key55168141986
23冲突H(23)+3+1
11冲突H(11)+1+1冲突H(11)+1+1+1+1
(H(37)+8)模11冲突37冲突(H(37)+8+8+8)模11(H(37)+8+8)模11冲突
最终存储结果55168142311371986

链地址法

产生hash冲突后在存储数据后面加一个指针,指向后面冲突的数据
上面的例子,用链地址法则是下面这样:


四、hash表的查找

查找过程和造表过程一致,假设采用开放定址法处理冲突,则查找过程为:
对于给定的key,计算hash地址index = H(key)
如果数组arr【index】的值为空 则查找不成功
如果数组arr【index】== key 则查找成功
否则 使用冲突解决方法求下一个地址,直到arr【index】== key或者 arr【index】==null

hash表的查找效率

决定hash表查找的ASL因素:
1)选用的hash函数
2)选用的处理冲突的方法
3)hash表的饱和度,装载因子 α=n/m(n表示实际装载数据长度 m为表长)
一般情况,假设hash函数是均匀的,则在讨论ASL时可以不考虑它的因素
hash表的ASL是处理冲突方法和装载因子的函数
前人已经证明,查找成功时如下结果:

这里写图片描述


可以看到无论哪个函数,装载因子越大,平均查找长度越大,那么装载因子α越小越好?也不是,就像100的表长只存一个数据,α是小了,但是空间利用率不高啊,这里就是时间空间的取舍问题了。通常情况下,认为α=0.75是时间空间综合利用效率最高的情况。

上面的这个表可是特别有用的。假设我现在有10个数据,想使用链地址法解决冲突,并要求平均查找长度<2
那么有1+α/2 <2
α<2
即 n/m<2 (n=10)
m>10/2
m>5 即采用链地址法,使得平均查找长度< 2 那么m>5

之前我的博客讨论过各种树的平均查找长度,他们都是基于存储数据n的函数,而hash表不同,他是基于装载因子的函数,也就是说,当数据n增加时,我可以通过增加表长m,以维持装载因子不变,确保ASL不变。
那么hash表的构造应该是这样的:


五、hash表的删除

首先链地址法是可以直接删除元素的,但是开放定址法是不行的,拿前面的双探测再散列来说,假如我们删除了元素1,将其位置置空,那 23就永远找不到了。正确做法应该是删除之后置入一个原来不存在的数据,比如-1

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