数据结构 图的遍历–深度优先 广度优先

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                       图的遍历:深度优先、广度优先

遍历

    图的遍历是指从图中的某一顶点出发,按照一定的策略访问图中的每一个顶点。当然,每个顶点有且只能被访问一次。

    在图的遍历中,深度优先和广度优先是最常使用的两种遍历方式。这两种遍历方式对无向图和有向图都是适用的,并且都是从指定的顶点开始遍历的。先看下两种遍历方式的遍历规则:

深度优先

    深度优先遍历也叫深度优先搜索(Depth First Search)。它的遍历规则:不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。

    具体点,给定一图G=<V,E>,用visited[i]表示顶点i的访问情况,则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历,则下一个遍历的顶点是V0的第一个邻接点Vi,接着遍历Vi的第一个邻接点Vj,……直到所有的顶点都被访问过。

    所谓的第一个是指在某种存储结构中(邻接矩阵邻接表),所有邻接点中存储位置最近的,通常指的是下标最小的。在遍历的过程中有两种情况经常出现

  1. 某个顶点的邻接点都已被访问过的情况,此时需回溯已访问过的顶点。
  2. 图不连通,所有的已访问过的顶点都已回溯完了,仍找不出未被访问的顶点。此时需从下标0开始检测visited[i],找到未被访问的顶点i,从i开始新一轮的深度搜索。

看一个例子

从V0开始遍历     遍历分析:V0有两个邻接点V1和V2,选择下标最小的V1遍历。接着从V1开始深度遍历,V1只有邻接点V3,也就是没有选的:遍历V3。接着从V3开始遍历,V3只有邻接点V0,而V0已经被遍历过。此时出现了上面提到的情况一,开始回溯V1,V1无未被遍历的邻接点,接着回溯V0,V0有一个未被遍历的邻接点V2,新的一轮深度遍历从V2开始。V2无邻接点,且无法回溯。此时出现了情况二,检测visited[i],只有V4了。深度遍历完成。看到回溯,应该可以想到需要使用栈。 遍历序列是 V0->V1->V3->V2->V4。 从其它顶点出发的深度优先遍历序列是: V1->V3->V0->V2->V4。 V2->V0->V1->V3->V4。
V3->V0->V1->V2->V4。
V4->V2->V0->V1->V3。
以上结果,我们稍后用于测试程序。
结合在图的实现:邻接矩阵中的代码,我们看下在邻接矩阵形式下的图的深度遍历算法:

深度优先代码

/*深度优先搜索从vertex开始遍历,visit是遍历顶点的函数指针*/void Graph::dfs(int vertex, void (*visit)(int)){	stack<int> s;	//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过	bool *visited = new bool[numV];	//count用于统计已遍历过的顶点数	int i, count;	for (i = 0; i < numV; i++)		visited[i] = false;	count = 0;	while (count < numV)	{		visit(vertex);		visited[vertex] = true;		s.push(vertex);		count++;		if (count == numV)			break;		while (visited[vertex])		{			for (i = 0; i < numV				&& (visited[i] 				|| matrix[vertex][i] == 0 || matrix[vertex][i] == MAXWEIGHT); i++);			if (i == numV)  //当前顶点vertex的所有邻接点都已访问完了			{				if (!s.empty())				{					s.pop();   //此时vertex正是栈顶,应先出栈					if (!s.empty())					{						vertex = s.top();						s.pop();					}					else  //若栈已空,则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点					{						for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);					}				}				else  //若栈已空,则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点				{					for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);				}			}			else  //找到新的顶点应更新当前访问的顶点vertex				vertex = i;		}	}	delete[]visited;}

其它代码前面已经见过,就不给出了,下面看下图的广度遍历。深度遍历和广度遍历的测试,稍后一并给出。

广度优先

    广度优先遍历也叫广度优先搜索(Breadth First Search)。它的遍历规则:

  1. 先访问完当前顶点的所有邻接点。(应该看得出广度的意思)
  2. 先访问顶点的邻接点先于后访问顶点的邻接点被访问。

    具体点,给定一图G=<V,E>,用visited[i]表示顶点i的访问情况,则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历,且顶点V0的邻接点下表从小到大有Vi、Vj…Vk。按规则1,接着应遍历Vi、Vj和Vk。再按规则2,接下来应遍历Vi的所有邻接点,之后是Vj的所有邻接点,…,最后是Vk的所有邻接点。接下来就是递归的过程… 在广度遍历的过程中,会出现图不连通的情况,此时也需按上述情况二来进行:测试visited[i]…。在上述过程中,可以看出需要用到队列。
举个例子,还是同样一幅图:

从V0开始遍历     遍历分析:V0有两个邻接点V1和V2,于是按序遍历V1、V2。V1先于V2被访问,于是V1的邻接点应先于V2的邻接点被访问,那就是接着访问V3。V2无邻接点,只能看V3的邻接点了,而V0已被访问过了。此时需检测visited[i],只有V4了。广度遍历完毕。
遍历序列是
V0->V1->V2->V3->V4。 从其它顶点出发的广度优先遍历序列是 V1->V3->V0->V2->V4。 V2->V0->V1->V3->V4。
V3->V0->V1->V2->V4。
V4->V2->V0->V1->V3。
以上结果,我们同样用于测试程序。

在邻接矩阵下,图的广度遍历算法

广度优先代码

/*广度优先搜索从vertex开始遍历,visit是遍历顶点的函数指针*/void Graph::bfs(int vertex, void(*visit)(int)){	//使用队列	queue<int> q;	//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过	bool *visited = new bool[numV];	//count用于统计已遍历过的顶点数	int i, count;	for (i = 0; i < numV; i++)		visited[i] = false;	q.push(vertex);	visit(vertex);	visited[vertex] = true;	count = 1;	while (count < numV)	{		if (!q.empty())		{			vertex = q.front();			q.pop();		}		else		{			for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);			visit(vertex);			visited[vertex] = true;			count++;			if (count == numV)				return;			q.push(vertex);		}		//代码走到这里,vertex是已经访问过的顶点		for (int i = 0; i < numV; i++)		{			if (!visited[i] && matrix[vertex][i] > 0 && matrix[vertex][i] < MAXWEIGHT)			{				visit(i);				visited[i] = true;				count ++;				if (count == numV)					return;				q.push(i);			}		}	}	delete[]visited;}

结合两种遍历的代码,我们对同一幅图进行测试,它的主函数是

void visit(int vertex){	cout << setw(4) << vertex;}int main(){	cout << "******图的遍历:深度优先、广度优先***by David***" << endl;	bool isDirected, isWeighted;	int numV;	cout << "建图" << endl;	cout << "输入顶点数 ";	cin >> numV;	cout << "边是否带权值,0(不带) or 1(带) ";	cin >> isWeighted;	cout << "是否是有向图,0(无向) or 1(有向) ";	cin >> isDirected;	Graph graph(numV, isWeighted, isDirected);	cout << "这是一个";	isDirected ? cout << "有向、" : cout << "无向、";	isWeighted ? cout << "有权图" << endl : cout << "无权图" << endl;	graph.createGraph();	cout << "打印邻接矩阵" << endl;	graph.printAdjacentMatrix();	cout << endl;	cout << "深度遍历" << endl;	for (int i = 0; i < numV; i++)	{		graph.dfs(i, visit);		cout << endl;	}	cout << endl;	cout << "广度遍历" << endl;	for (int i = 0; i < numV; i++)	{		graph.bfs(i, visit);		cout << endl;	}	system("pause");	return 0;}

运行

仔细对照测试结果,我们的代码是没有问题的。
完整代码下载:图的遍历:深度优先、广度优先

小结

对于某个图来说,深度优先遍历和广度优先遍历的序列不是唯一的,但当图的存储结构一确定,它的遍历序列就是唯一的。因为当有多个候选点时,我们总是优先选择下标最小的。

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